Arcos

En este apartado expondré todo aquello que analicé al realizar el proyecto final de carrera, "Estudio de la Fortaleza de Isabel II en Menorca" (http://www.monikagrau.blogspot.com.es/) con algunos conceptos nuevos introducidos a partir de análisis de algunas obras ejecutadas. 

Existen muchas teorías respecto su construcción, aunque podemos resumirlas de forma esquemática en lo siguiente: El origen de los arcos (también bóvedas y cúpulas) está en la utilización de elementos salientes dentro de distintas hiladas sucesivas. También está en el uso de dinteles realizados por dos o más elementos inclinados. La estática gráfica hace depender la estabilidad de los arcos en tres premisas básicas: 

-La curva de presiones debe estar contenida en el interior del arco. Los puntos de la curvatura de presiones son los puntos de aplicación de las fuerzas de reacción entre dovelas diferentes, por lo que no pueden situarse fuera de la zona de contacto entre dovelas. 

-El esfuerzo máximo de cada junta no puede exceder la resistencia a compresión del material. 

-El ángulo en cada junta y su normal debe ser menor que el ángulo de rozamiento entre dovelas contiguas. 

Teniendo en cuenta estos requisitos es posible obtener un diseño completo y fiable de un arco. Debe tenerse en cuenta también que el proceso de rotura de un arco que en general es descriptible: baja por la clave, se levanta por los riñones y se abre por los estribos. Pero estos movimientos no serán tan obvios si el arco está cargado asimétricamente. El trazado de la curva de presiones depende de cómo actúa la carga y de la forma del intradós. En definitiva, la supervivencia de un arco depende esencialmente de su puesta en obra, de su construcción. De momento no pretendemos establecer unas bases de cálculo, sino unas premisas lógicas que utilizaron los ingenieros como base del diseño del conjunto. Se parte de una idea básica: los niveles tensionales son bajos. Además, se supone que no existe resistencia a tracción y que la cohesión es nula. Por lo tanto, la estabilidad del arco se debe a que la línea de empujes esté dentro de la geometría del arco. En un muro aislado un solo punto de salida de la línea de empujes provoca el vuelco, en un arco cada punto de salida o tangencia de la línea de empujes es una articulación y un arco de tres articulaciones es estable, por lo cual para que un arco vuelque es necesario cuatro articulaciones. El arco prototipo utilizado en la Fortaleza de La Mola es el rebajado. Apoyándonos en la idea de línea de empujes podemos plantear el método de rotura para comprobación de la seguridad de arcos. Este método tiene origen lejano en algunos trabajos de Leonardo en el Renacimiento, que se volvieron a plantear durante los siglos XIX y XX. Los arcos tienen un gran potencial desde el punto de vista estructural y también compositivo. El dintel es un elemento que debe absorber esfuerzos de flexión, por lo que la longitud de un dintel de piedra está enormemente limitada, debido a la baja resistencia a tracción de este material. Los dinteles de piedra de más de 4,5 metros son raros; más de 6 metros son prácticamente imposibles debido al espesor de la sección necesario y al peso del propio del bloque resultante. Sin embargo, en un arco no hay, teóricamente, esfuerzos de tracción. Todos los esfuerzos son de compresión y la piedra de construcción soporta muy bien las compresiones debido a su proceso de formación geológica, el cual, tiene lugar debajo de la superficie terrestre bajo grandes presiones de gravedad o deformaciones en la corteza de la tierra. De hecho, rara vez se alcanza en un arco la tensión máxima teóricamente admisible del material. En un arco ocurre lo contrario que en un dintel. Cuanto más cargado esté un arco -hasta un cierto límite, por supuesto- más fuerte se vuelve. El arco exento es una forma de precario equilibrio. Si se coloca encima de él un muro, la tendencia de las dovelas a deslizarse disminuye. La capacidad del arco de sostener inmensas cargas es uno de sus aspectos más importantes y útiles y esto fue tomado en cuenta desde el mismo principio de la construcción del mismo. 

Los romanos fueron muy ingeniosos en el empleo de los arcos, pero quizás el más ingenioso de estos mecanismos romanos fuera el arco adintelado o plano, puesto que un arco no tiene porqué tener una curva o directriz determinada. La configuración exterior del arco no necesita estar curvada en absoluto. Mientras que las dovelas estén colocadas radialmente, la estructura funciona como un arco. Y una vez dominado el arco, se plantea la posibilidad de cubrir espacios con una estructura similar. Al desplazar la directriz de un arco a lo largo de un eje, éste se convierte en una bóveda. No existe ninguna diferencia estructural entre un arco y una bóveda, sólo una diferencia de tipo funcional. Generalmente un arco sólo sostiene a un muro, mientras que una bóveda puede también servir como cubierta a un edificio. Continuando con el sistema de funcionamiento estructural, tanto los arcos como las bóvedas funcionan básicamente a compresión, como ya hemos dicho, hecho que hace posible la utilización de la roca como material de construcción, ya que posee buena capacidad mecánica a compresión, y deficiente a tracción. 

El análisis de las estructuras de fábrica se basa en cuatro hipótesis básicas que se enumeran a continuación: 

1.Las tensiones de compresión son tan bajas que el material no se romperá por aplastamiento. 

2.Debido a la realización de juntas, los esfuerzos de compresión se transmiten por toda la superficie de la pieza. 

3.Debido a la unión entre juntas, no hay posibilidad de que los bloques de marés tengan deslizamiento. 

4.Las juntas son incapaces de dar resistencia a tracción. Por lo tanto, las cargas que sustenten las bóvedas y arcos, se desplazarán produciendo una descarga sobre los elementos sustentantes; los sillares o muros. 

Conociendo el comportamiento estructural de los arcos, que debemos extrapolarlo al siguiente apartado (de bóvedas) damos paso al sistema de trazado siguiendo unas bases según las dimensiones del mismo. La forma de trazar un arco depende de las características del arco, pero por regla general, debe conocerse la altura de arranque del arco, anchura, punto y flecha. Con estos datos puede proyectarse y construirse el arco. Una vez que se conoce la manera de trazar un arco, y también la manera en como trabaja, es decir, distinguiendo lo que es el arco verdadero de fuerzas del arco aparente de piedras, entonces hay que buscar una regla para establecer el grueso adecuado de las dovelas en cada caso. Los canteros medievales y renacentistas utilizaban una regla muy simple, conocida en España como “regla del tercio” y en Francia como “regla de Derand” a raíz de las dos primeras publicaciones en donde aparecen, el manuscrito de Martínez de Aranda y el posterior francés de François Derand “ L’Architecture des voutes”, en 1643.(1) Este es uno de los innumerables “secretos de cantero” que guardaban celosamente los gremios y que aún en la actualidad no se conocen en parte. (2) 

1) Primeramente dividimos la curva del arco en tres partes iguales.

2) Seguidamente marcamos una línea vertical (b)desde una de las divisiones hasta tocar el arco. 

3) Seguidamente tomamos esta distancia O-By la trasladamos fuera del arco sobre la horizontal de la línea de arranques. 

4) Esta distancia es que nos marca la anchura necesaria para este tipo de arco. La regla sirve para cualquier tipo de arco. Hay que remarcar que esta regla indica los gruesos “mínimos” o “recomendables” pero que en ningún caso limita anchos mayores. 

Señalar que anchos mayores significan multiplicar la resistencia de arcos. Otro aspecto relacionado con el trazado antiguo, establece, a priori, que la longitud de las dovelas no debe ser inferior a 1/10 de la luz del arco. Dejamos de lado, de momento, estas características que aplicaremos posteriormente y nos adentramos en el sistema constructivo. Para su construcción, es preciso el empleo de puntales (en luces pequeñas) o cimbras, en luces considerables, para sostener las dovelas hasta que el arco esté cerrado. Las dovelas que forman el arco suelen colocarse de manera que avance simétricamente desde los arranques hasta la clave. Después de colocar las jambas hasta el nivel del intradós del dintel, se procede a la colocación de los salmeres. El caso tanto de cimbras como puntales se realizaban con madera, dando la forma del intradós del arco, en el caso de cimbras, disponiendo refuerzos verticales y a cuarenta y cinco grados, para mantener suficiente resistencia en el conjunto del cimbrado. En el caso de puntales, también de madera, se disponían en la construcción de arcos con luces notables pero de dimensiones suficientes para mantener su estabilidad sin la necesidad de cimbras. Pero además, es necesario conocer como se realiza una dovela, que es la pieza que forma el arco finalizando su disposición con la clave, dovela central que corona el arco. Según los tratados realizados sobre el corte de la piedra (estereotomía de la piedra), que se realizaron hasta finales del siglo XVIII, Joseph Gelabert recogió en su manuscrito el uso de plantillas tridimensionales para la talla de las piezas, especialmente de las dovelas. Y aunque en el siglo XIX su trazo ya se basa en el conocimiento de la geometría descriptiva, las dovelas de la fortaleza se trazaron mediante el uso de escuadras y plantillas, descritas posteriormente, debido la experiencia que tenían los canteros que trabajaron en la obra. En general, la forma de un arco quedará definida por el trazado previo de la montea . Esta se determina dividiendo un segmento de longitud igual a la curvatura del arco superior, “l’” en un número impar “n” que será el número de dovelas, siempre que L’/n no sea mayor a la anchura de la pieza a disponer. Además, la longitud del arco generatriz, “l” también deberá dividirse entre el número de dovelas, “n”, dando lugar a la anchura de la dovela en su parte inferior. La distribución de las dovelas a simple vista queda clara, la dificultad radica en el trazado de las proyecciones que cortarán el arco general desde los centros de cada arco que forma el principal. En el caso de los arcos de medio punto existe un solo arco, por lo que se realiza su trazado siempre desde el centro del mismo. En los demás casos, bien en el arco rebajado o en el carpanel, se determina la proyección citada a partir del centro de cada uno de los arcos que forman el principal, de forma que todas las dovelas tendrán el mismo ancho. 

Por otro lado, en función de la forma del conjunto de dovelas, es decir, de su corte, reciben un nombre u otro. Las más típicas, tanto de la fortaleza como de las viviendas tradicionales de las islas Baleares son las tres siguientes: 

-Dovelas de corte pequeño: son aquellas en el que la altura de las dovelas es pequeña. Normalmente, se traduce en la disposición de las piezas de forma que la soga sea la anchura de la dovela. 

-Dovelas de corte normal: son las más abundantes de la fortaleza y se identifican porque la dovela se realiza disponiendo el tizón como la anchura máxima de la dovela. 

Finalmente, la dovela acodada es aquella en que el corte superior de cada dovela no es curvo, sino que se adapta a las piezas adyacentes colocadas, siguiendo el orden de los sillares por hiladas, escalonadamente. 

Establecemos así el trazado del arco en un plano, mientras que en los siguientes, se realiza con las plantillas y útiles expresados en el apartado de materiales de construcción, todos ellos explicados de forma simplificada, tomando como referencia distintos libros y manuscritos sobre “Estereotomía de la piedra”, expuestos en el apartado bibliográfico de este estudio. No obstante, exponemos a continuación varios detalles de los mismos para obtener un concepto general. Del análisis de las dimensiones de los arcos de la Fortaleza de Isabel II, se dedujo que la modulación entonces de la luz del arco, considerando piezas de 60, 70 u 80 cm. de longitud serían las siguientes: 

FORMATO	Nº PIEZAS / LUZ
60 cm.	3/180 cm.	4/240 cm.	5/300 cm.	6/360 cm.	7/420 cm.
70 cm.	3 / 210 cm.	4/ 280 cm.	5/ 350 cm.	6/ 420 cm.	7 /490 cm.
80 cm.	3/ 240 cm.	4/ 320 cm.	5/ 400 cm.	6/ 480 cm.	7/ 560 cm.

Luz de los arcos en función del número de piezas dispuestas.

Pero también es necesaria la consideración de su altura de arranque, que considerando la modulación también de sus alturas, de 30 o 40 cm. podemos establecer una clara relación aritmética del espacio. Aun así, debemos tener en cuenta que estas dimensiones iban en función de la junta de unión, que podía variar en 1-3 cm. mayor o menor a la dimensión utilizada para basar la modulación siguiente.

FORMATO	Nº PIEZAS / ALTURA DE ARRANQUE
30 cm.	4/ 120 cm.	4,5 / 135 cm.	5 / 150 cm.	6/ 180cm
40 cm.	4/ 160 cm.	4,5/ 180 cm.	5/ 200 cm.	6/ 240 cm.

Número de piezas de los arcos según altura de arranque.

Para su diseño se traza sobre un tablero de madera la dimensión de cada dovela en tamaño real, que servirá como plantilla para el corte de las piezas. La medida exterior de las dovelas depende de la dimensión de los sillares utilizados y su forma de colocación: adquiriendo dovelas más alargadas y estrechas o más anchas y más cortas. En el caso expuesto en la parte superior, tratándose de un arco semicircular, de medio punto, suponemos el trazo de un arco con piezas de 62 cm. de longitud. El cálculo se realiza teniendo en cuenta la luz del arco, el caso expuesto, de 3 metros. Se calcula el perímetro del círculo que forma su trazado y se divide entre el número de dovelas (siempre impar). En este caso serán nueve. Veamos los cálculos para las dimensiones expuestas:

Perímetro del semicírculo: п. r = п. 1,50 = 4,71 m.

Perímetro semicírculo / nº dovelas à 4,71 m/9 = 0,52 m.

Esta dimensión corresponde a la longitud interior (intradós) de cada dovela, incluida la clave.

Para el segundo caso, en el que hemos dispuesto las piezas de forma que la mayor longitud de la pieza se corresponda con la anchura del arco, establecemos lo siguiente:

Perímetro del semicírculo ₁ : п. R = п. (1,50) = 4,71  m.

Perímetro del semicírculo ₂ : п. R’ = п. (1,50+0,60) = 6,597 m.

Perímetro semicírculo / nº dovelas à 6,597/ n ≤ 0,30 m.

n > 22 à 23, por tratarse de un número impar.

Si n = 23, entonces, las longitudes de cada dovela en su intradós (l₁) y trasdós (l₂) serán:

l₁= 4,71/23 = 0,205 m.

l₂= 6,597/23=0,287 m.

Pero además, siempre encontramos que en el trazado de las dovelas, para que sean perfectamente iguales, el ángulo que forma el eje que marca cada dovela es el mismo. Entonces, sabiendo que un semicírculo tiene 180º, no hace falta más razones que dividir el número de dovelas con el ángulo para realizar su trazado, siempre teniendo en cuenta los espesores máximos citados, aunque como veremos, en algunos casos se han dispuesto piezas especiales de mayor tamaño para establecer resistencias mayores debido a las luces y cargas que soportan las mismas.